Przekątna: definicja i przykłady
Przekątna w geometrii płaszczyzny to odcinek łączący dwa wierzchołki wielokąta nieleżące na jednym boku tego wielokąta. Powtórz z nami, jakie są zastosowania pojęcia przekątnej w matematyce, jakie są właściwości przekątnych w różnych figurach geometrycznych i jak można obliczyć przekątną.
1. Co to jest przekątna?
W geometerii płaskiej przekątne to odcinki łączące wierzchołki wielokąta i niebędące jego bokami.
Z kolei w geometrii przestrzeni trójwymiarowej przekątne definiuje się jako odcinki łączące dwa wierzchołki wielościanu nieleżące na jednej ścianie tego wielościanu.
Wiesz już, w jakim kontekście używa się terminu "przekątna", sprawdźmy teraz, jakie figury geometryczne posiadają przekątne i co je wyróżnia.
- Przekątna kwadratu: przekątne są równej długości i przecinają się w połowie pod kątem prostym.
- Przekątna prostokąta: przekątne są tej samej długości i przecinają się w połowie.
- Przekątna rombu: przekątne przecinają się pod kątem prostym.
- Przekątna trapezu: przekątne trapezu równoramiennego mają jednakową długość.
- Przekątna deltoidu: przekątne są prostopadłe względem siebie – jedna przekątna jest symetralną drugiej.
- Przekątna trójkąta: trójkąt nie posiada przekątnych, bo każdy z odcinków łączących dowolne dwa jego wierzchołki jest jego bokiem.
2. Jak przekątne wpływają na pole powierzchni i obwód figury?
Obliczanie przekątnej wymaga zastosowania odpowiedniego wzoru:
- kwadrat: d = a√2, gdzie d to przekątna kwadratu, a to boki kwadratu (wzór na przekątną kwadratu wyprowadza się z Twierdzenia Pitagorsa
- prostokąt: √(a² + b²), gdzie a i b to długości boków prostokąta
3. W jaki sposób przekątne są wykorzystywane w praktycznych zastosowaniach?
Wiedząc już, co to jest przekątna w kontekście geometrii, rozwiąż zadania polegające na obliczeniu długość przekątnej.
Zadanie 1. Przekątna kwadratu ma 8 cm. Jakie jest pole kwadratu?
Co wiemy:
d = 8 cm P = ? (przypominamy wzór na pole kwadratu || P = a * a)
Rozwiązanie:
d = a√2
8 = a√2
8 : √2 = a
P = a^2 = 8^2 : √2^2 = 64 : 2 = 32
Odpowiedź: Pole kwadratu o przekątnej 8 cm wynosi 32 cm.
Zadanie 2. Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku 4 cm.
Co wiemy:
a = 4 cm
b = 4 cm
d = ?
Stosujemy Twierdzenie Pitagorasa: a^2 + b^2 = c^2
4^2 + 4^2 = c^2
16 + 16 = c^2
32 = c^2
c = √32 = √16 * 2 = 4√2
Odpowiedź: Długość przekątnej kwadratu, którego bok ma 4 cm, wynosi 4√2.
Zadanie 3: Jaką długość ma przekątna prostokąta o bokach 5 i 10 cm?
Co wiemy?
a = 5 cm b = 10 cm d = ?
a^2 + b^2 = d^2, zatem: 5^2 + 10^2 = d^2 25 + 100 = d^2 125 = d^2 d = √125 = √25 * 5 = 5√5
Odpowiedź: Przekątna prostokąta o bokach 5 i 10 cm ma długość 5√5.
