Funkcja kwadratowa. Definicja i zastosowanie
Funkcja kwadratowa, inaczej nazywana trójmianem kwadratowym często pojawia się w zadaniach maturalnych. Mimo iż jej znajomość nie wydaje się niezbędna do wykonywania codziennych czynności, jak się okazuje, może się w życiu przydać. Ze znajomości funkcji kwadratowej skorzystamy, aby obliczyć między innymi drogę hamowania pojazdu, zmianę kursów walut oraz notowania giełdowe. Czym jest funkcja kwadratowa? W jakich postaciach występuje? Sprawdź!
1. Definicja funkcji kwadratowej
Funkcja kwadratowa to taka funkcja, którą zapisujemy w postaci:
y = ax² + bx + c,
gdzie a,b i c to liczby rzeczywiste i a ≠ 0.
Przykłady funkcji kwadratowych:
- y = x²;
- y = 2x² + 3x - 5;
- y = (x-4)².
2. Najważniejsze wzory związane z funkcją kwadratową
Wśród wzorów związanych z omawianą funkcją możemy wymienić:
- wzór na wierzchołek paraboli;
- wzór na pierwiastki trójmianu kwadratowego;
- wzór na postać kanoniczną;
- wzór na postać iloczynową;
- wzór na postać ogólną;
- wzory Viete'a.
3. Wykres funkcji kwadratowej
Najprostszy wykres funkcji kwadratowej możemy wykonać, rysując tabelkę i wyznaczając kilka punktów wykresu.
Wykresem tej funkcji jest krzywa - parabola. Aby narysować wykres funkcji kwadratowej, powinniśmy wyznaczyć miejsca zerowe (jeśli istnieją), wierzchołek paraboli oraz punkt przecięcia paraboli z osią Y.
4. Dziedzina oraz zbiór wartości funkcji kwadratowej
Dziedziną funkcji kwadratowej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych: D∈R. Do każdego wzoru funkcji kwadratowej możemy wstawiać wszystkie liczby rzeczywiste.
Zbiór wartości funkcji kwadratowej to przedział, którego wyznaczenie rozpoczynamy od wyznaczenia współrzędnych wierzchołka paraboli (współrzędnej y wierzchołka paraboli).
5. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej
Miejsca zerowe omawianej funkcji możemy policzyć, przyrównując wzór funkcji do zera. Miejsca zerowe wyliczymy dzięki rozwiązywaniu równań kwadratowych.
6. Przykłady i zastosowania funkcji kwadratowej
Oto kilka zastosowań funkcji kwadratowej:
- pole sfery jest kwadratową funkcją jej promienia (więc i średnicy);
- pole koła to kwadratowa funkcja promienia (więc także średnicy);
- pole rombu (np. kwadratu) to kwadratowa funkcja długości boku;
- pole wielościanów foremnych to kwadratowa funkcja długości krawędzi;
- suma ciągu arytmetycznego jest kwadratową funkcją liczby wyrazów;
- funkcja cosinus może być przybliżana funkcją kwadratową;
- w dynamice - dla dużych prędkości opór ośrodka to kwadratowa funkcja prędkości;
- w kinematyce - dla ruchu jednostajnie zmiennego położenie to kwadratowa funkcja czasu;
- przyspieszenie dośrodkowe to kwadratowa funkcja prędkości kątowej lub liniowej;
- energia potencjalna dla sprężyny lub innego obiektu, który spełnia prawo Hooke'a to kwadratowa funkcja położenia;
- energia kinetyczna to kwadratowa funkcja pędu lub prędkości;
- rzut ukośny, w czasie zaniedbania oporów ruchu, opisany jest funkcją kwadratową. Jego trajektoria to wykres funkcji kwadratowej, czyli wyżej wspomniana parabola.
