Wzory skróconego mnożenia

Czym są wzory skróconego mnożenia? Jakie są przykłady wzorów skróconego mnożenia? Jak obliczyć kwadrat sumy?

1. Wzory skróconego mnożenia. Co to jest?

Wzory skróconego mnożenia to wspólna nazwa dla wzorów, ułatwiających przechodzenie między postacią sumaryczną i iloczynową.

Wzory skróconego mnożenia to jedne z najważniejszych wzorów stosowanych w matematyce. Ze względu na powszechność, umiejętność ich stosowania jest bardzo istotna.

Zobacz film: "Jak możesz pomóc maluchowi odnaleźć się w nowym środowisku?"

Wzory skróconego mnożenia wykorzystuje się przy mnożeniu lub potęgowaniu wyrażeń algebraicznych. Mają też zastosowanie przy rozwiązywaniu równań, wyciąganiu pierwiastków wielomianu oraz przekształcaniu wzorów.

2. Podstawowe przykłady wzorów skróconego mnożenia

Istnieje wiele wzorów skróconego mnożenia. Oto najważniejsze z nich:

(a+b)² = a² + 2ab + b² (a−b)² = a² − 2ab + b² a²−b² = (a−b)(a+b) a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²) a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²) (a+b)³ = a³+3a²b + 3ab² + b³ (a−b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

3. Wzory skróconego mnożenia. Kwadrat sumy

Oto wzór na obliczenie kwadratu sumy:

(a+b)² = a² + 2ab + b²

Nie ma konieczności stosowania wzoru skróconego mnożenia w przypadku policzenia kwadratu sumy dwóch liczb. Przykładowo (x+2)²

W takim przypadku można wykorzystać poniższe równanie:

(x+2)² = (x+2)(x+2)= x² + 2x + 2x + 4=x² + 4x + 4

Można również posłużyć się wzorem skróconego mnożenia:

(x+2)² = x² + 2⋅x⋅2+4 = x² + 4x + 4

4. Wzory skróconego mnożenia. Kwadrat różnicy

Oto wzór na obliczenie kwadratu różnicy:

(a−b)² = a² − 2ab + b²

Powyższy wzór jest używany tak samo jak wzór na kwadrat sumy dwóch liczb.

(x−1)² = x² − 2x + 1 (x−2)² = x² − 4x + 4 (x−3)² = x² − 6x + 9 (x−6)² = x² – 12x + 36

5. Wzory skróconego mnożenia. Różnica kwadratów

Oto wzór na różnicę kwadratów dwóch liczb:

a² − b² = (a−b)(a+b)

Przykłady równań:

x² − 22 = (x−2)(x+2) x² − 32 = (x−3)(x+3) x² − 52 = (x−5)(x+5)

6. Wzory skróconego mnożenia. Suma sześcianów

Oto wzór na sumę sześcianów dwóch liczb:

a³ + b³ = (a+b)(a²−ab+b²)

Przykłady równań:

x³ + 33 = (x+3)(x²−3x+32) x³ + 125 = x³ +53 = (x+5)(x²−5x+25)

7. Wzory skróconego mnożenia. Różnica sześcianów

Oto wzór na różnicę sześcianów dwóch liczb:

a³ − b³ = (a−b)(a²+ab+b²)

Przykłady równań:

x³ – 8 = x³ −23 = (x−2)(x²+2x+4) x³ – 125 = x³ − 53 = (x−5)(x²+5x+25)

8. Wzory skróconego mnożenia. Sześcian sumy

Oto wzór na sześcian sumy dwóch liczb:

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Przykłady równań: (x+1)³ = x³ + 3x2 + 3x + 1 (x+2)³ = x³ + 6x2 + 12x + 8

9. Wzory skróconego mnożenia. Sześcian różnicy

Oto wzór na sześcian różnicy dwóch liczb:

(a−b)³ = a3 − 3a²b + 3ab² − b³

Przykłady równań:

(x−1)³ = x³ − 3x2 + 3x − 1 (x−3)³ = x³ − 9x2 + 27x − 27

10. Wzory skróconego mnożenia. Kwadrat sumy trzech wyrażeń

Oto wzór na kwadrat sumy trzech wyrażeń:

(a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Przykłady równania:

(1+2+3)2 = 1 + 4 + 9 + 4 + 8 + 12 = 38

Wzory te mają również wersje dla większej liczby składników, np. dla trzech:

(a+b-c)² = a² + b² + c² + 2ab - 2ac - 2bc (a-b+c)² = a² + b² + c² - 2ab + 2ac - 2bc (a-b-c)² = a² + b² + c² - 2ab - 2ac + 2bc

Ogólnie można ten wzór stosować dla kwadratu dowolnej liczby składników. Różnice należy przedstawić w postaci sumy składników o przeciwnym znaku.