Logarytmy. Najważniejsze wzory
Logarytmy zostały odkryte 400 lat temu i były powszechnie używane do lat 80. Jaka jest definicja logarytmów? Jakie są prawa działań logarytmów? Czym jest suwak logarytmiczny?
1. Logarytm. Definicja
Logarytmem liczby b przy podstawie a nazywamy taką liczbę c, że a podniesione do potęgi c. W języku matematyki tę definicję można ująć w ten sposób wzorem:
logab = c↔ac = b
Logarytm jest więc działaniem odwrotnym do potęgowania.
2. Logarytmy. Odkrycie
Logarytmy zostały odkryte w XVI wieku. Opracowali je szkocki matematyk i arystokrata Ioannes Neper oraz angielski matematyk i astronom Henry Briggs.
W tamtych czasach astronomia, od której zależała nawigacja i handel, wymagała żmudnych obliczeń na papierze. Odkrycie logarytmów pozwoliło zastąpić mnożenie, dzielenie i pierwiastkowanie na łatwiejsze dodawanie, odejmowanie i dzielenie przez liczbę naturalną.
Po opublikowani prac najpierw Briggsa, a potem Nepera, tablice logarytmiczne i suwaki logarytmiczne zaczęły być powszechnie używane w obliczeniach naukowych, inżynierskich i astronomicznych.
3. Logarytmy. Podstawy
Postawą lub zasadzą logarytmu jest nazywana liczba a. Z kolei b jest liczbą logarytmowaną, która również może być antylogarytmem swojego logarytmu. Jest to więc wykładnik potęgi, do jakiej należy podnieść podstawę a aby otrzymać liczbę logarytmowaną b.
Oto przykład:
Log2 8 = 3 gdyż 23 = 8
Logarytm musi spełniać trzy warunki, które również są nazywane założeniami lub dziedziną logarytmu:
podstawa logarytmu musi być zawsze liczbą dodatnią, czyli: a>0,
podstawa jest różna od 1, zatem: a≠1,
liczba logarytmowana musi być dodatnia, czyli: b>0.
4. Logarytmy. Najważniejsze wzory
Wzór dodawania i odejmowania logarytmów o tej samej podstawie:
logab+logac=loga(b⋅c) logab−logac=loga (b¦c)
Wyciąganie wykładnika potęgi przed logarytm:
loga(bn) = n ⋅ logab loganb = 1/n logab
Logarytm w wykładniku potęgi: alogab = b
5. Logarytmy. Prawa działań
Oto główne założenia:
a>0,a≠1,b>0,x>0,y>0
Logarytm iloczynu:
loga(x ⋅ y)=logax+logx+logay
Logarytm ilorazu:
loga x/y =logax - logay Logarytm potęgi: loga xy = y loga x logarytm pierwiastka: loga √(n&x) = 1/n logax
6. Logarytm naturalny
Logarytm naturalny jest również nazywany logarytmem Nepera, który posługiwał się logarytmami o podstawie zbliżonej do 1/e;
Liczbę e, czyli liczbę Eulera można określić jako granicę pewnego ciągu liczbowego. Liczba e jest równą w przybliżeniu 2,718281828.
7. Logarytm naturalny
Logarytm dziesiętny jest również nazywany briggsowski, ponieważ został wprowadzony w 1614 roku przez Henry’ego Briggsa.
Logarytm o podstawie równej 10, składa się z:
- części całkowitej, zwanej cechą;
- części dziesiętnej, zwanej mantysą.
Logarytm dziesiętny oznacza się w następujący sposób:
Lg x = log10 x
Cecha logarytmu liczby x (dla x ≥ 1) jest mniejsza o jeden od liczby cyfr przed przecinkiem dziesiętnym w zapisie liczby x.
8. Suwak logarytmiczny
Suwak logarytmiczny albo suwak rachunkowy można nazwać poprzednikiem kalkulatora. Wynalazł go w 1632 roku angielski matematyk William Oughtreda.
Suwak logarytmiczny działa na zasadzie dodawania logarytmów poprzez dodawanie różnej długości odcinków zaznaczonych na skali:
log(a⋅b)=log(a)+log(b)
Suwak logarytmiczny znacznie ułatwił obliczenia i do końca lat 80. XX wieku był używany przez inżynierów, fizyków i matematyków.