Liczby pierwsze. Jak je wyznaczyć?
Liczby pierwsze to liczby naturalne większe od 1, które mają dokładnie dwa naturalne dzielniki: 1 oraz samą siebie. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznacza się symbolem symbolem ℙ. Które liczby są liczbami pierwszymi? Jakie je szybko wyznaczyć?
1. Kiedy pojawiły się liczby naturalne?
Trudno jednoznacznie określić, kiedy liczby naturalne pojawiły się po raz pierwszy. Przypuszczalnie proste operacje liczbowe towarzyszą ludziom od zawsze. Już prehistoryczni myśliwi rozróżniali pojęcia takie jak zero, jeden, dwa i wiele, by potem użyć tych umiejętności do opisywania ilości upolowanych zwierząt.
Dowiedziono ponadto, że wiele gatunków zwierząt z łatwością rozpoznaje liczności małych zbiorów, nie jest to więc tylko domena ludzkości, choć u ludzi umiejętności te rozwinęły się na bardzo szeroką skalę.
Człowiek naturalnie rozwijał się wraz ze wzrostem umiejętności liczenia, ponieważ było mu to potrzebne do codziennego życia. Z jednej strony dlatego, że plemiona się rozrastały, ale również rozwijały się w technikach hodowlanych, łowieckich i handlowych, które wymagały precyzyjnego operowania na coraz to większych liczbach. Większe liczby naturalne przydawały się człowiekowi także do określania wielkości wrogich plemion i zasobów, które możnaby im zabrać.
Bardzo często zdobyte trofea stanowiły dobro wspólne, ponieważ samodzielne łowy odeszły w niepamięć, a grupy grabieżców i myśliwych współpracowały ze sobą, aby zapewnić wyżywienie i dobrostan rodzinom. Naturalne więc stało się pytanie, jak uczciwie podzielić zdobyte zasoby.
Okazało się, że niektóre zbiory można podzielić na równe części, aby w każdej zawarty był element każdego rodzaju. Według dowodów historycznych niewielkie liczby opisujące rozmiary właśnie takich zbiorów (które dzisiaj nazywamy liczbami pierwszymi) znane były ludziom zamieszkującym dzisiejsze Kongo nawet 20 tysięcy lat temu.
2. Które liczby są pierwsze?
Liczby pierwsze dzielą się przez 1 oraz przez siebie. W zakresie od 1 - 100 możemy wymienić następujące liczby:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
W spisie liczby tych nie ma np. liczby 4, ponieważ ma ona 3 dzielniki: 1, 2 i 4. Podobnie jest z liczbą 6, która tych dzielników ma 4 i są to: 1,2,3 oraz 6.
Liczby naturalne, które są większe od 1 i nie są pierwsze, nazywamy liczbami złożonymi, zatem 4 i 6 to liczby złożone.
Warto dodać, że liczby 0 raz 1 nie są ani złożone ani pierwsze.
3. Liczby bliźniacze w liczbach pierwszych
Wśród liczb pierwszych możemy wyróżnić tak zwane liczby bliźniacze - takie dwie liczby pierwsze których różnica to 2. Przykładowo są to:
- 3 i 5;
- 11 i 13;
- 59 i 61.
4. Własności liczb pierwszych
- Najmniejszy, różny od liczby 1 dzielnik naturalny liczby naturalnej, większej od jedności, to liczba pierwsza;
- Nigdy skończony zbiór nie zawiera wszystkich liczb pierwszych, co udowadniał już Euklides.
- Wszystkie liczby naturalne większe od 1 dają się jednoznacznie zapisać w postaci iloczynu skończonego niemalejącego ciągu niektórych liczb pierwszych. Wspomniany wcześniej Euklides był w stanie udowodnić to twierdzenie, stworzył nawet niezbędne do tego narzędzia, jednak ostatecznie uczynił to dopiero Gauss. Twierdzenie to porównuje liczby pierwsze do atomów, z których przy pomocy mnożenia zbudowane są pozostałe liczby.
5. Jak wyznaczyć liczby pierwsze?
Liczby pierwsze wykorzystywane są w matematyce dość powszechnie, głównie w dziedzinach wiążących się z algebrą, teorią liczb, algorytmiką i przetwarzaniem informacji. Wielu matematyków bardziej niż same liczby pierwsze, interesuje sposób ich odnajdywania.
Aby je wyznaczyć, można skorzystać między innymi z algorytmu znanego pod nazwą sita Erastotenesa, jest to jeden z najstarszych sposób wyszukiwania liczb pierwszych. Najstarsza znana wzmianka na ten temat pojawiła się w dziele Nikomachosa z Gerazy z okresu około 60-120 r. n.e.
Metoda ta pozwala szybko wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze, które są mniejsze od zadanej wartości granicznej. Polega na tym, aby z listy potencjalnych liczb pierwszych w sposób systematyczny wykreślać te wartości, które po sprawdzeniu nie są pierwsze.
Sito Erastotenesa to najszybszy algorytm poszukiwania wszystkich liczb pierwszych mniejszych lub równych zadanej wartości. Nie nadaje się jednak do poszukiwania dużych liczb pierwszych. Dzieje się tak, ponieważ przyrostowe budowanie ciągu liczb pierwszych nie nadaje się, gdy interesuje nas tylko największa z nich.
Wiele matematyków poświęca mnóstwo swojego czasu na poszukiwanie wzorca, który mógłby porządkować zbiór liczb pierwszych. Wydaje się jednak, że mimo iż rozkład liczb tych jest w dosyć równomierny, nie jest w żaden sposób przewidywalny.
