Trwa ładowanie...

Średnia ważona - jak obliczyć? Średnia ważona arytmetyczna, geometryczna, harmoniczna, potęgowa

Avatar placeholder
07.03.2021 18:38
Średnia ważona - jak obliczyć?
Średnia ważona - jak obliczyć? (123RF)

Średnia ważona to jedno z zagadnień matematycznych, które przysparza niemałych trudności przy obliczeniu. Z tego artykułu dowiesz się, jak poprawnie ją wyliczyć, a także czym różnią się średnia ważona arytmetyczna od geometrycznej, harmonicznej i potęgowej oraz za pomocą jakich wzorów można je obliczyć.

1. Średnia ważona - definicja

spis treści

Zacznijmy od wyjaśnienia, co kryje się pod tym matematycznym pojęciem.

Średnia ważona jest to średnia składowych, którym przypisujemy różne znaczenie w ten sposób, aby te elementy, które mają większą wagę, miały większy wpływ na całą średnią.

Zobacz film: "Wysokie oceny za wszelką cenę"

Jeśli wszystkie dostępne nam elementy mają taką samą wagę, a więc takie samo znaczenie, to wówczas średnia ważona jest równa średniej wyjściowej (inaczej nazywanej średnią bazową).

Średnia ważona może być liczona na różne sposoby (np. jako średnia geometryczna lub arytmetyczna), stąd też wzór na jej obliczenie jest uznależniony od jej rodzaju.

Zobacz także: Jak obliczyć pierwiastek z liczby?

Ważne jest, aby zapamiętać, że średnia ważona może dać poprawny wynik tylko wówczas, gdy wagi są wzajemnie nieskorelowane, a więc nie są od siebie zależne.

Taki problem może pojawić się przy liczeniu niepewności pomiarowej.

Wtedy liczymy średnią z serii M wartości Yi = f(X1,X2...XN).

Średnia arytmetyczna z Yi (i=1,2,...,M) oraz średnia ważona z wagami, które są równe niepewnościom cząstkowym u(Yi) w potędze -1, mogą dać różne wyniki.

Średnią ważoną najlepiej stosować do obliczania wartości średniej oraz jej niepewności tam, gdzie wszystkie Xij są niezależne, np. wielkości Yi zostały zmierzone na innym sprzęcie, w innym laboratorium i w innych warunkach. Jeśli nie mamy takich niezależności, powinniśmy zastosować inną średnią.

2. Średnia ważona arytmetyczna - wzór

Aby obliczyć średnią arytmetyczną należy posłużyć się następującym wzorem:

Wzór na średnią arytmetyczną
Wzór na średnią arytmetyczną

Ważne!

Dane o większej wadze, są bardziej istotne przy określeniu średniej ważonej niż te o mniejszej wadze. Ale jeśli wagi są równe, to średnia ważona równa jest średniej arytmetycznej. Zauważmy, że średnia ważona wykazuje podobne cechy do średniej arytmetycznej, jednak ma ona kilka sprzecznych własności (np. paradoks Simpsona).

Zobacz także: Czym są procenty? Jak je obliczyć?

3. Średnia ważona geometryczna - wzór

Możemy obliczyć także średnią ważoną geometryczną. Wyliczamy ją ze wzoru:

Średnia ważona geometryczna
Średnia ważona geometryczna

Gdy wszystkie nasze wagi są równe, to średnia ważona geometryczna jest równa średniej geometrycznej.

4. Średnia ważona harmoniczna - wzór

Średnią ważoną harmoniczną wyliczamy ze wzoru:

Średnia ważona harmoniczna
Średnia ważona harmoniczna

Kiedy wagi są równe, wówczas średnia ważona harmoniczna równa się średniej harmonicznej.

5. Średnia ważona potęgowa - wzór

Aby obliczyć wariant ważony dla średniej potęgowej dowolnego rzędu rzeczywistego niezerowego q, musimy posłużyć się wzorem:

Ważona średnia potęgowa
Ważona średnia potęgowa

Średnia potęgowa ważona dla rzędu 0 jest opisana powyżej ważonej średniej geometrycznej. Z kolei dla rzędów +/- ∞ wprowadzenie wag nie ma znaczenia dla wartości średniej.

Dla rzędu -1 średnia jest średnią ważoną harmoniczną, natomiast dla rzędu 2 średnia jest średnią ważoną kwadratową.

Zobacz także: Liczby całkowite - czyli jakie? Przykłady

Polecane dla Ciebie
Pomocni lekarze