Liczby wymierne - jakie są ich własności?
Liczby wymierne to takie, które możemy zapisać w postaci ułamka zwykłego dwóch liczb całkowitych. W liczbach wymiernych dzielnik jest różny od zera. Czym różnią się liczby wymierne od niewymiernych? Jakie są własności liczb wymiernych?
1. Co to są liczby wymierne?
Liczbami wymiernymi nazywamy takie liczby, które możemy zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, gdy druga liczba - dzielnik jest inna niż zero.
Zbiór liczb wymiernych oznaczamy jako Q i jest to zbiór nieskończony. Należą do niego wszystkie liczby naturalne i całkowite.
Przykładami liczb wymiernych będą np. 4, -20, 0,7 czy 8. Można je zapisać w postaci ułamka, i tak otrzymamy 4/1, -20/1, 7/10 czy też 8/1.
2. Własności liczb wymiernych
Jakie są własności liczb wymiernych?
- liczby wymierne z mnożeniem, dodawaniem, zerem i jedynką stanowią ciało;
- w arytmetyce teoretycznej ciało liczb wymiernych definiuje się jako ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych;
- zbiór liczb wymiernych jest zbiorem przeliczalnym - jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych;
- jako podzbiór przestrzeni liczb rzeczywistych R, liczby wymierne są gęste w R.
3. Czym są liczby niewymierne?
Liczby niewymierne - przeciwne liczbom wymiernym to liczby rzeczywiste, które, jak nazwa wskazuje, nie są liczbami wymiernymi, czyli nie można ich przedstawić jako iloraz liczby całkowitej i liczby całkowitej innej od zera.
Liczby te wypełniają luki w przekrojach Dedekinda zbioru liczb niewymiernych Q, w efekcie dając przestrzeń zupełną.
Rozwinięcie dziesiętne tych liczb jest nieokresowe i nieskończone. Międzynarodowym symbolem zbioru liczb niewymiernych jest IQ.
Najbardziej znanym przykładem liczby niewymiernej jest liczba Pi, która wynosi w przybliżeniu 3,14.
