Równanie kwadratowe. Przykłady, wzory
Równanie kwadratowe jest to równanie algebraiczne z jedną niewiadomą w potędze drugiej lub niższych, które powinien znać każdy maturzysta. Jak rozwiązać równanie kwadratowe? Kiedy równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie? Kiedy równanie kwadratowe nie posiada rozwiązań?
1. Co to jest równanie kwadratowe?
Równanie kwadratowe (z niewiadomą x) to równanie algebraiczne w drugiej potędze (lub niższych), które można doprowadzić do postaci
ax² + bx +c = 0,
gdzie a, b i c to ustalone współczynniki czasem nazywane kolejno: kwadratowym, liniowym i stałym, oraz a ≠ 0. Jest to, innymi słowy, równanie wielomianowe drugiego stopnia.
Jeśli mamy równanie kwadratowe, musimy obliczyć jego miejsce zerowe. Tak jak w przypadku miejsc zerowych, ilość rozwiązań zależeć będzie od delty.
2. Równanie kwadratowe - przykłady
Prawidłowe przykłady równań kwadratowych:
- 2x² + 2x +2 = 0
- 2x² + 2x = 0
- 2x² = 0
3. Wyróżnik równania kwadratowego
Wyróżnik równania kwadratowego ax² + bx+ c = 0 to:
Δ = b² - 4ac
Wyróżnik równania kwadratowego jest nazywany również deltą Δ. Obydwie nazwy stosowane są wymiennie.
Podany wzór to jeden z najważniejszych do zapamiętania. Każdy uczeń wielokrotnie korzysta z niego przy zadaniach z zakresu funkcji kwadratowej i nie tylko.
4. Równanie kwadratowe - jak rozwiązać?
Jak obliczyć równanie kwadratowe? Rozwiązaniem równania kwadratowego:
ax² + bx +c = 0
nazywa się każdą liczbę, która podstawiona w miejsce x daje po wykonaniu wszystkich działań równość. Jeśli powyższe działanie przedstawimy w postaci iloczynowej:
a (x - x₁) (x - x₂) = 0
dla pewnych liczb x₁, x₂, to jego rozwiązaniem jest dowolna z liczb x₁, x₂, ponieważ podstawiona zamiast x sprawia, że lewa strona równości równa się 0.
5. Równania kwadratowe - wzory
Równania kwadratowe mogą mieć jedno, dwa lub zero rozwiązań.
Jeśli Δ > 0 to równanie kwadratowe posiada dwa rozwiązania, które obliczamy według poniższych wzorów:
Jeśli Δ = 0 to równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie (podwójne), które obliczamy według wzoru:
Jeśli Δ < 0 to równanie kwadratowe nie posiada rozwiązań.
Rozwiązania równania kwadratowego nazywane są również pierwiastkami równania kwadratowego.
