Średnia ważona - jak obliczyć? Średnia ważona arytmetyczna, geometryczna, harmoniczna, potęgowa

Zacznijmy od wyjaśnienia, co kryje się pod tym matematycznym pojęciem.

Średnia ważona jest to średnia składowych, którym przypisujemy różne znaczenie w ten sposób, aby te elementy, które mają większą wagę, miały większy wpływ na całą średnią.

Jeśli wszystkie dostępne nam elementy mają taką samą wagę, a więc takie samo znaczenie, to wówczas średnia ważona jest równa średniej wyjściowej (inaczej nazywanej średnią bazową).

Średnia ważona może być liczona na różne sposoby (np. jako średnia geometryczna lub arytmetyczna), stąd też wzór na jej obliczenie jest uznależniony od jej rodzaju.

Zobacz także: Jak obliczyć pierwiastek z liczby?

Ważne jest, aby zapamiętać, że średnia ważona może dać poprawny wynik tylko wówczas, gdy wagi są wzajemnie nieskorelowane, a więc nie są od siebie zależne.

Taki problem może pojawić się przy liczeniu niepewności pomiarowej.

Wtedy liczymy średnią z serii M wartości Yi = f(X1,X2...XN).

Średnia arytmetyczna z Yi (i=1,2,...,M) oraz średnia ważona z wagami, które są równe niepewnościom cząstkowym u(Yi) w potędze -1, mogą dać różne wyniki.

Średnią ważoną najlepiej stosować do obliczania wartości średniej oraz jej niepewności tam, gdzie wszystkie Xij są niezależne, np. wielkości Yi zostały zmierzone na innym sprzęcie, w innym laboratorium i w innych warunkach. Jeśli nie mamy takich niezależności, powinniśmy zastosować inną średnią.

Aby obliczyć średnią arytmetyczną należy posłużyć się następującym wzorem:

Ważne!

Dane o większej wadze, są bardziej istotne przy określeniu średniej ważonej niż te o mniejszej wadze. Ale jeśli wagi są równe, to średnia ważona równa jest średniej arytmetycznej. Zauważmy, że średnia ważona wykazuje podobne cechy do średniej arytmetycznej, jednak ma ona kilka sprzecznych własności (np. paradoks Simpsona).

Zobacz także: Czym są procenty? Jak je obliczyć?

Możemy obliczyć także średnią ważoną geometryczną. Wyliczamy ją ze wzoru:

Gdy wszystkie nasze wagi są równe, to średnia ważona geometryczna jest równa średniej geometrycznej.

Średnią ważoną harmoniczną wyliczamy ze wzoru:

Kiedy wagi są równe, wówczas średnia ważona harmoniczna równa się średniej harmonicznej.

Aby obliczyć wariant ważony dla średniej potęgowej dowolnego rzędu rzeczywistego niezerowego q, musimy posłużyć się wzorem:

Średnia potęgowa ważona dla rzędu 0 jest opisana powyżej ważonej średniej geometrycznej. Z kolei dla rzędów +/- ∞ wprowadzenie wag nie ma znaczenia dla wartości średniej.

Dla rzędu -1 średnia jest średnią ważoną harmoniczną, natomiast dla rzędu 2 średnia jest średnią ważoną kwadratową.

Zobacz także: Liczby całkowite - czyli jakie? Przykłady