Liczby naturalne. Definicja i zasady

Liczby naturalne to liczby całkowite, dodatnie, czyli - 1, 2, 3, 4, 5... Czasami do liczb naturalnych zaliczana jest również liczba zero. Dlatego autor książki matematycznej zawsze powinien określić, czy uznaje liczbę zero za naturalną, czy też nie.

Zbiór liczb naturalnych oznaczamy literą N. Często można też spotkać zapis N+, który oznacza zbiór liczb naturalnych dodatnich, czyli bez zera.

N jest zbiorem nieskończonym, co oznacza, że największa liczba naturalna nie istnieje.

Liczby naturalne służą do określania liczności i ustalania kolejności. Dwie funkcje liczb naturalnych można opisać tak:

• ile elementów jest w danym zbiorze;
• który jest dany element w ciągu.

Innymi słowy, liczby naturalne to są liczby, które są używane przez ludzi do określania ilości lub kolejności rzeczy. W świecie rzeczywistym ilości ujemne nie istnieją, ponieważ jeśli coś jest, można temu przepisać ilość lub kolejność. Dlatego w zbiorze liczb naturalnych nie ma żadnych liczb ujemnych.

Matematycy wciąż toczą spór na temat tego, czy liczbę 0 można zaliczyć do zbioru liczb naturalnych.

Czasem wygodnie jest definiować liczby naturalne z zerem, a innym razem bez zera. Z tego względu oba podejścia są dopuszczalne.

Jeśli chcemy zaznaczyć, że wśród rozważanych liczb znajduje się 0, używamy zapisu N∪{0}. Natomiast jeśli chcemy zaznaczyć, że nie uwzględniamy 0 w zbiorze liczb naturalnych, posługujemy się zapisem N+ lub N{0}.

Choć człowiek posługuje się liczbami naturalnymi niemal od początku cywilizacji, to opracowanie ścisłej definicji zbioru liczb naturalnych zajęło matematykom wiele czasu.

Zbiór liczb naturalnych jest definiowany przez warunki zaproponowane przez Giuseppe Peano (1858-1932 r.), włoskiego matematyka i logika. Zostały one nazwane aksjomatami lub postulatami Peano. Oto ich główne założenia:

• Istnieje liczba naturalna 0;
• Każda liczba naturalna ma swój następnik;
• 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej;
• Różne liczby naturalne mają różne następniki;
• Jeśli 0 ma daną własność i następnik dowolnej liczby naturalnej ma tę własność, to każda liczba naturalna ma tę własność.

Liczby naturalne możemy dodawać i mnożyć. Wynik tych działań będzie zawsze liczbą naturalną. Liczba naturalna podniesiona do potęgi o wykładniku naturalnym także będzie liczbą naturalną.

Inaczej jest w przypadku odejmowania, dzielenia oraz wyciągania pierwiastków od liczb naturalnych.

Liczby naturalne należą do zbioru liczb całkowitych.

Liczby całkowite są rozszerzeniem liczb naturalnych. Do zbioru tych liczb dodajemy jeszcze ich wszystkie liczby przeciwne, czyli te z minusami oraz zero. Oto przykład liczb całkowitych: ...−6,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…

Zbiór liczb całkowitych oznaczamy symbolem Z. Zbiór liczb całkowitych dodatnich, to zbiór liczb naturalnych.

Z kolei liczby całkowite są częścią podzbioru liczb rzeczywistych, oznaczanych symbolem R. Przykład zbioru liczb rzeczywistych:

0, 1, −3, 56, 2–√, π

Liczby rzeczywiste dzielą się na wymierne i niewymierne.

• Liczba niewymierna - to taka liczba, której nie można zapisać za pomocą ułamka zwykłego. Przy-kład liczby niewymiernej: 2–√, 3–√, 5–√ ;

• Liczny wymierna - to taka liczba, którą można zapisać w postaci ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy symbolem Q.