Liczba Pi. Kiedy jej używamy i jakie są jej własności?

Liczba Pi (π), inaczej nazywana stałą Archimedesa lub ludolfiną jest stosunkiem obwodu koła - długości okręgu do długości jego średnicy. Stosunek ten nie jest uzależniony od rodzaju koła, ponieważ wszystkie są do siebie podobne.

Z liczby Pi korzystamy między innymi w geometrii, podczas obliczania wzorów na pole koła, objętość walca, objętość kuli czy pole elipsy, ale także skorzystamy z niej w analizie matematycznej, teorii liczby czy w rachunku prawdopodobieństwa, a nawet w teorii grawitacji Einsteina.

Bywa nazywana stałą Archimedesa z powodu zasług, jakie odniósł Archimedes z Syrakuz, który był jednym z pierwszych badaczy własności oraz znaczenia liczby Pi w matematyce. Ludolfiną bywa nazywana z kolei w uznaniu dla Ludolpha van Ceulena, który stał się sławny dzięki przedstawieniu tej liczby z dokładnością do 35 miejsc po przecinku.

Liczba pi ma zastosowanie w wielu różnych działań matematyki i fizyki. Poniżej podajemy najczęściej używane wzory z matematyki (geometrii) oraz fizyki.

• πr² - wzór na pole koła o promieniu r;
• 2πr - wzórn a obwód okręgu o promieniu r;
• abπ - wzór na pole elipsy o półosiach równych a oraz b;
• 4πr² - wzór na powierzchnię kuli o promieniu r;
• 4/3πr² - wzór na objętość kuli o promieniu r;
• πr² H - wzór na objętość walca o wysokości H i promieniu r;
• Miara łukowa kąta półpełnego równa jest π radianów;
• ∆x∆p ≥ h/4π, ∆E∆t ≥ h/4π - zasada nieoznaczoności kwantowej Heisenberga;

Liczba Pi jest liczbą niewymierną, co oznacza, że Pi nie ma okresowego lub skończonego rozwinięcia dziesiętnego.

Rozwinięcie dziesiętne Pi do dziesiątego miejsca po przecinku:

π ≈ 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279...

Jak widać, rozwinięcie to jest nieskończone, dlatego w obliczeniach stosowane są tylko jej pewne przybliżenia.

Zaokrąglenia liczby Pi:

• w uproszczonych zadaniach - π ≈ 3;
• najpowszechniej stosowane rozwinięcie dziesiętne - π ≈ 3,14;
• π ≈ 22/7;
• π ≈ 355/113.

Liczby Pi nie da się wyrazić poprzez skończoną liczbę działań, takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, pierwiastkowanie, w których to biorą udział liczby całkowite. Liczba Pi jest więc liczbą przestępną jak zdecydowana większość liczb.

Liczba Pi ma swoich wielbicieli. Ustanowiono Dzień Liczby Pi na 14 marca (datę tą w Ameryce zapisujemy jako "3.14"), oraz Dzień Aproksymacji Pi 22 lipca (europejski sposób zapisywania tej daty to 22/7 ≈ 3,1428).

Z tej okazji tworzone są opowiadania i wierszyki, w których długość każdego kolejnego słowa równa jest kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym liczby Pi.

Oto kilka takich wierszy:

"Raz w maju, w drugą niedzielę

Pi liczył cyfry pan Felek.

Pomnożył, wysumował,

Cyferki zanotował,

Ale ma ich niewiele..."

"Jaś o kole z werwą dyskutuje

bo dobrze temat ten czuje

zastąpił ludolfinę słowami wierszyka

czy Ty już odgadłeś, skąd zmiana ta wynika?

Kto i bada i liczy,

Myśliciel to wielki.

Mylić się zwykł jednakże

Matematyk wszelki.

Oto i wiem i pomnę doskonale…

Kto z woli i myśli zapragnie Pi spisać cyfry, ten zdoła"

"Kuć i orać w dzień zawzięcie,

Bo plonów niema bez trudu!

Złocisty szczęścia okręcie,

Kołyszesz...

Kuć! My nie czekajmy cudu.

Robota to potęga ludu!"