Liczba Pi. Kiedy jej używamy i jakie są jej własności?
Liczba Pi to inaczej stosunek obwodu koła do jego średnicy. Oznaczamy ją symbolem π, to równa się w przybliżeniu 3,14. Stała ta pojawia się w wielu działach fizyki i matematyki, jest potrzebna między innymi do wyliczenia pola koła lub objętości kuli. Jakie ma własności?
W tym artykule:
Co to jest liczba Pi?
Liczba Pi (π), inaczej nazywana stałą Archimedesa lub ludolfiną jest stosunkiem obwodu koła - długości okręgu do długości jego średnicy. Stosunek ten nie jest uzależniony od rodzaju koła, ponieważ wszystkie są do siebie podobne.
Z liczby Pi korzystamy między innymi w geometrii, podczas obliczania wzorów na pole koła, objętość walca, objętość kuli czy pole elipsy, ale także skorzystamy z niej w analizie matematycznej, teorii liczby czy w rachunku prawdopodobieństwa, a nawet w teorii grawitacji Einsteina.
Bywa nazywana stałą Archimedesa z powodu zasług, jakie odniósł Archimedes z Syrakuz, który był jednym z pierwszych badaczy własności oraz znaczenia liczby Pi w matematyce. Ludolfiną bywa nazywana z kolei w uznaniu dla Ludolpha van Ceulena, który stał się sławny dzięki przedstawieniu tej liczby z dokładnością do 35 miejsc po przecinku.
Które wzory zawierają liczbę Pi?
Liczba pi ma zastosowanie w wielu różnych działań matematyki i fizyki. Poniżej podajemy najczęściej używane wzory z matematyki (geometrii) oraz fizyki.
- πr² - wzór na pole koła o promieniu r;
- 2πr - wzórn a obwód okręgu o promieniu r;
- abπ - wzór na pole elipsy o półosiach równych a oraz b;
- 4πr² - wzór na powierzchnię kuli o promieniu r;
- 4/3πr² - wzór na objętość kuli o promieniu r;
- πr² H - wzór na objętość walca o wysokości H i promieniu r;
- Miara łukowa kąta półpełnego równa jest π radianów;
- ∆x∆p ≥ h/4π, ∆E∆t ≥ h/4π - zasada nieoznaczoności kwantowej Heisenberga;
Własności liczby Pi
Liczba Pi jest liczbą niewymierną, co oznacza, że Pi nie ma okresowego lub skończonego rozwinięcia dziesiętnego.
Rozwinięcie dziesiętne Pi do dziesiątego miejsca po przecinku:
π ≈ 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279...
Jak widać, rozwinięcie to jest nieskończone, dlatego w obliczeniach stosowane są tylko jej pewne przybliżenia.
Zaokrąglenia liczby Pi:
- w uproszczonych zadaniach - π ≈ 3;
- najpowszechniej stosowane rozwinięcie dziesiętne - π ≈ 3,14;
- π ≈ 22/7;
- π ≈ 355/113.
Liczby Pi nie da się wyrazić poprzez skończoną liczbę działań, takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, pierwiastkowanie, w których to biorą udział liczby całkowite. Liczba Pi jest więc liczbą przestępną jak zdecydowana większość liczb.
Dzień liczby Pi
Liczba Pi ma swoich wielbicieli. Ustanowiono Dzień Liczby Pi na 14 marca (datę tą w Ameryce zapisujemy jako "3.14"), oraz Dzień Aproksymacji Pi 22 lipca (europejski sposób zapisywania tej daty to 22/7 ≈ 3,1428).
Z tej okazji tworzone są opowiadania i wierszyki, w których długość każdego kolejnego słowa równa jest kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym liczby Pi.
Oto kilka takich wierszy:
"Raz w maju, w drugą niedzielę
Pi liczył cyfry pan Felek.
Pomnożył, wysumował,
Cyferki zanotował,
Ale ma ich niewiele..."
"Jaś o kole z werwą dyskutuje
bo dobrze temat ten czuje
zastąpił ludolfinę słowami wierszyka
czy Ty już odgadłeś, skąd zmiana ta wynika?
Kto i bada i liczy,
Myśliciel to wielki.
Mylić się zwykł jednakże
Matematyk wszelki.
Oto i wiem i pomnę doskonale…
Kto z woli i myśli zapragnie Pi spisać cyfry, ten zdoła"
"Kuć i orać w dzień zawzięcie,
Bo plonów niema bez trudu!
Złocisty szczęścia okręcie,
Kołyszesz...
Kuć! My nie czekajmy cudu.
Robota to potęga ludu!"
