Ciąg Fibonacciego - definicja, własności
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb naturalnych, w których każda występująca w nim liczba jest sumą dwóch poprzednich. Naukowcy odkryli, że odnajdujemy go w wielu aspektach przyrody, a jednocześnie można odkryć, że zjawiska, których struktura jest na nim oparta, sprawia przyjemność ludzkim zmysłom. O ciągu Fibonacciego uczymy się jeszcze w szkole podstawowej. Jakie są własności tego ciągu? Jak go obliczać? Czym są złote proporcje? Sprawdź!
W tym artykule:
Co to jest ciąg Fibonacciego?
Ciąg Fibonacciego został wynaleziony przez włoskiego matematyka, Leonarda Fibonacciego, który żył na przełomie XII i XIII. Podał on wzór na określanie kolejnych wyrazów tego ciągu.
Ciąg Fibonacciego jest to ciąg liczb naturalnych, określonych następująco: pierwszy wyraz to 0, drugi - 1, a każdy kolejny to suma dwóch poprzednich wyrazów.
Określamy go według poniższego wzoru:
F0 = 0
F1= 1
Fn = Fn-1+Fn-2, dla n ≥ 2
Pierwsze jego wyrazy wyglądają następująco:
0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...
Jakie są własności ciągu Fibonacciego?
Ciąg Fibonacciego ma następujące własności:
- każda następna liczba ciągu to suma dwóch poprzednich (oprócz pierwszej i drugiej) - jest to zatem ciąg rekurencyjny, jest to pierwszy ze znanych ciągów tego rodzaju;
- jeśli podzielimy każdą z liczb przez jej poprzednik, otrzymamy iloraz oscylujący wokół 1.618, w miarę zwiększania się liczb maleją odchylenia tej wartości; odwrotnością 1.618 jest 0.618, dlatego też współczynnik każdej liczby ciągu podzielony przez następną oscyluje wokół 0,618;
- inna własność polega na tym, że pomiędzy każdymi dwiema liczbami, które rozdzielone są jedną liczbą, ma miejsce proporcja 2.618 i jej odwrotność - 0.382;
- taką samą procedurę możemy zastosować dla liczb bardziej od siebie oddalonych, np. dla liczb oddalonych od siebie o trzy pozycje współczynniki wynoszą 4.236 oraz 0.236.
Czym są złote proporcje?
Liczba 1.618 inaczej nazywana jest współczynnikiem złotych proporcji i zapisywana jest za pomocą 21- szej litery alfabetu greckiego, jako phi (=∅). Uczeni odkryli, że ciąg Fibonacciego możemy znaleźć w szeregu aspektów przyrody, wyznacza on kształty struktury, jak i przebieg zmian w strukturach dynamicznych.
Warto zauważyć, że zjawiska, których struktura opiera się na ciągu Fibonacciego, sprawiają przyjemność dla słuchu i wzroku człowieka. Dowodem na tę tezę może być fakt, że złote proporcje wykorzystywano podczas budowy piramidy Cheopsa czy Panteonu w Grecji, posługiwał się nimi również w swojej sztuce Leonardo da Vinci i Botticelli.
