Przekątna: definicja i przykłady

W geometerii płaskiej przekątne to odcinki łączące wierzchołki wielokąta i niebędące jego bokami.

Z kolei w geometrii przestrzeni trójwymiarowej przekątne definiuje się jako odcinki łączące dwa wierzchołki wielościanu nieleżące na jednej ścianie tego wielościanu.

Wiesz już, w jakim kontekście używa się terminu "przekątna", sprawdźmy teraz, jakie figury geometryczne posiadają przekątne i co je wyróżnia.

• Przekątna kwadratu: przekątne są równej długości i przecinają się w połowie pod kątem prostym.
• Przekątna prostokąta: przekątne są tej samej długości i przecinają się w połowie.
• Przekątna rombu: przekątne przecinają się pod kątem prostym.
• Przekątna trapezu: przekątne trapezu równoramiennego mają jednakową długość.
• Przekątna deltoidu: przekątne są prostopadłe względem siebie – jedna przekątna jest symetralną drugiej.
• Przekątna trójkąta: trójkąt nie posiada przekątnych, bo każdy z odcinków łączących dowolne dwa jego wierzchołki jest jego bokiem.

Obliczanie przekątnej wymaga zastosowania odpowiedniego wzoru:

• kwadrat: d = a√2, gdzie d to przekątna kwadratu, a to boki kwadratu (wzór na przekątną kwadratu wyprowadza się z Twierdzenia Pitagorsa
• prostokąt: √(a² + b²), gdzie a i b to długości boków prostokąta

Wiedząc już, co to jest przekątna w kontekście geometrii, rozwiąż zadania polegające na obliczeniu długość przekątnej.

Zadanie 1. Przekątna kwadratu ma 8 cm. Jakie jest pole kwadratu?

Co wiemy:

d = 8 cm P = ? (przypominamy wzór na pole kwadratu || P = a * a)

Rozwiązanie:

d = a√2

8 = a√2

8 : √2 = a

P = a^2 = 8^2 : √2^2 = 64 : 2 = 32

Odpowiedź: Pole kwadratu o przekątnej 8 cm wynosi 32 cm.

Zadanie 2. Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku 4 cm.

Co wiemy:

a = 4 cm

b = 4 cm

d = ?

Stosujemy Twierdzenie Pitagorasa: a^2 + b^2 = c^2

4^2 + 4^2 = c^2

16 + 16 = c^2

32 = c^2

c = √32 = √16 * 2 = 4√2

Odpowiedź: Długość przekątnej kwadratu, którego bok ma 4 cm, wynosi 4√2.

Zadanie 3: Jaką długość ma przekątna prostokąta o bokach 5 i 10 cm?

Co wiemy?

a = 5 cm b = 10 cm d = ?

a^2 + b^2 = d^2, zatem: 5^2 + 10^2 = d^2 25 + 100 = d^2 125 = d^2 d = √125 = √25 * 5 = 5√5

Odpowiedź: Przekątna prostokąta o bokach 5 i 10 cm ma długość 5√5.