Logarytmy. Najważniejsze wzory

Logarytmem liczby b przy podstawie a nazywamy taką liczbę c, że a podniesione do potęgi c. W języku matematyki tę definicję można ująć w ten sposób wzorem:

logab = c↔ac = b

Logarytm jest więc działaniem odwrotnym do potęgowania.

Logarytmy zostały odkryte w XVI wieku. Opracowali je szkocki matematyk i arystokrata Ioannes Neper oraz angielski matematyk i astronom Henry Briggs.

W tamtych czasach astronomia, od której zależała nawigacja i handel, wymagała żmudnych obliczeń na papierze. Odkrycie logarytmów pozwoliło zastąpić mnożenie, dzielenie i pierwiastkowanie na łatwiejsze dodawanie, odejmowanie i dzielenie przez liczbę naturalną.

Po opublikowani prac najpierw Briggsa, a potem Nepera, tablice logarytmiczne i suwaki logarytmiczne zaczęły być powszechnie używane w obliczeniach naukowych, inżynierskich i astronomicznych.

Postawą lub zasadzą logarytmu jest nazywana liczba a. Z kolei b jest liczbą logarytmowaną, która również może być antylogarytmem swojego logarytmu. Jest to więc wykładnik potęgi, do jakiej należy podnieść podstawę a aby otrzymać liczbę logarytmowaną b.

Oto przykład:

Log2 8 = 3 gdyż 23 = 8

Logarytm musi spełniać trzy warunki, które również są nazywane założeniami lub dziedziną logarytmu:

podstawa logarytmu musi być zawsze liczbą dodatnią, czyli: a>0,

podstawa jest różna od 1, zatem: a≠1,

liczba logarytmowana musi być dodatnia, czyli: b>0.

Wzór dodawania i odejmowania logarytmów o tej samej podstawie:

logab+logac=loga(b⋅c) logab−logac=loga (b¦c)

Wyciąganie wykładnika potęgi przed logarytm:

loga(bn) = n ⋅ logab loganb = 1/n logab

Logarytm w wykładniku potęgi: alogab = b

Oto główne założenia:

a>0,a≠1,b>0,x>0,y>0

Logarytm iloczynu:

loga(x ⋅ y)=logax+logx+logay

Logarytm ilorazu:

loga x/y =logax - logay Logarytm potęgi: loga xy = y loga x logarytm pierwiastka: loga √(n&x) = 1/n logax

Logarytm naturalny jest również nazywany logarytmem Nepera, który posługiwał się logarytmami o podstawie zbliżonej do 1/e;

Liczbę e, czyli liczbę Eulera można określić jako granicę pewnego ciągu liczbowego. Liczba e jest równą w przybliżeniu 2,718281828.

Logarytm dziesiętny jest również nazywany briggsowski, ponieważ został wprowadzony w 1614 roku przez Henry’ego Briggsa.

Logarytm o podstawie równej 10, składa się z:

• części całkowitej, zwanej cechą;
• części dziesiętnej, zwanej mantysą.

Logarytm dziesiętny oznacza się w następujący sposób:

Lg x = log10 x

Cecha logarytmu liczby x (dla x ≥ 1) jest mniejsza o jeden od liczby cyfr przed przecinkiem dziesiętnym w zapisie liczby x.

Suwak logarytmiczny albo suwak rachunkowy można nazwać poprzednikiem kalkulatora. Wynalazł go w 1632 roku angielski matematyk William Oughtreda.

Suwak logarytmiczny działa na zasadzie dodawania logarytmów poprzez dodawanie różnej długości odcinków zaznaczonych na skali:

log(a⋅b)=log(a)+log(b)

Suwak logarytmiczny znacznie ułatwił obliczenia i do końca lat 80. XX wieku był używany przez inżynierów, fizyków i matematyków.