Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia to wspólna nazwa dla wzorów, ułatwiających przechodzenie między postacią sumaryczną i iloczynową.

Wzory skróconego mnożenia to jedne z najważniejszych wzorów stosowanych w matematyce. Ze względu na powszechność, umiejętność ich stosowania jest bardzo istotna.

Wzory skróconego mnożenia wykorzystuje się przy mnożeniu lub potęgowaniu wyrażeń algebraicznych. Mają też zastosowanie przy rozwiązywaniu równań, wyciąganiu pierwiastków wielomianu oraz przekształcaniu wzorów.

Istnieje wiele wzorów skróconego mnożenia. Oto najważniejsze z nich:

(a+b)² = a² + 2ab + b² (a−b)² = a² − 2ab + b² a²−b² = (a−b)(a+b) a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²) a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²) (a+b)³ = a³+3a²b + 3ab² + b³ (a−b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

Oto wzór na obliczenie kwadratu sumy:

(a+b)² = a² + 2ab + b²

Nie ma konieczności stosowania wzoru skróconego mnożenia w przypadku policzenia kwadratu sumy dwóch liczb. Przykładowo (x+2)²

W takim przypadku można wykorzystać poniższe równanie:

(x+2)² = (x+2)(x+2)= x² + 2x + 2x + 4=x² + 4x + 4

Można również posłużyć się wzorem skróconego mnożenia:

(x+2)² = x² + 2⋅x⋅2+4 = x² + 4x + 4

Oto wzór na obliczenie kwadratu różnicy:

(a−b)² = a² − 2ab + b²

Powyższy wzór jest używany tak samo jak wzór na kwadrat sumy dwóch liczb.

(x−1)² = x² − 2x + 1 (x−2)² = x² − 4x + 4 (x−3)² = x² − 6x + 9 (x−6)² = x² – 12x + 36

Oto wzór na różnicę kwadratów dwóch liczb:

a² − b² = (a−b)(a+b)

Przykłady równań:

x² − 22 = (x−2)(x+2) x² − 32 = (x−3)(x+3) x² − 52 = (x−5)(x+5)

Oto wzór na sumę sześcianów dwóch liczb:

a³ + b³ = (a+b)(a²−ab+b²)

Przykłady równań:

x³ + 33 = (x+3)(x²−3x+32) x³ + 125 = x³ +53 = (x+5)(x²−5x+25)

Oto wzór na różnicę sześcianów dwóch liczb:

a³ − b³ = (a−b)(a²+ab+b²)

Przykłady równań:

x³ – 8 = x³ −23 = (x−2)(x²+2x+4) x³ – 125 = x³ − 53 = (x−5)(x²+5x+25)

Oto wzór na sześcian sumy dwóch liczb:

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Przykłady równań: (x+1)³ = x³ + 3x2 + 3x + 1 (x+2)³ = x³ + 6x2 + 12x + 8

Oto wzór na sześcian różnicy dwóch liczb:

(a−b)³ = a3 − 3a²b + 3ab² − b³

Przykłady równań:

(x−1)³ = x³ − 3x2 + 3x − 1 (x−3)³ = x³ − 9x2 + 27x − 27

Oto wzór na kwadrat sumy trzech wyrażeń:

(a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Przykłady równania:

(1+2+3)2 = 1 + 4 + 9 + 4 + 8 + 12 = 38

Wzory te mają również wersje dla większej liczby składników, np. dla trzech:

(a+b-c)² = a² + b² + c² + 2ab - 2ac - 2bc (a-b+c)² = a² + b² + c² - 2ab + 2ac - 2bc (a-b-c)² = a² + b² + c² - 2ab - 2ac + 2bc

Ogólnie można ten wzór stosować dla kwadratu dowolnej liczby składników. Różnice należy przedstawić w postaci sumy składników o przeciwnym znaku.