Układ równań. Jakie są metody rozwiązywania układów równań?

Układ równań to koniunkcja pewnej liczby (być może nieskończonej) równań. Równania te połączone są w układ za pomocą klamry. Rozwiązywaniem ich zajmowano się już ponad 3 tysiące lat temu. Najstarsze przykłady układów równań znaleziono na glinianych tabliczkach, odkrytych w czasie wykopalisk archeologicznych na terenach starożytnej Babilonii.

Układy te zapisane były pismem klinowym i w niczym nie przypominały współczesnej symboliki matematycznej, jednak metody rozwiązywania ich przez starożytnych matematyków mają wiele wspólnego z metodami stosowanymi w dzisiejszych czasach.

Przykładowe układy równań:

Rozwiązaniem układu równań jest każde przyporządkowanie wartości (w przypadku układu równań algebraicznych - liczb, w przypadku układu równań funkcyjnych- funkcji, itd.) niewiadomym, spełniającym każde z równań składowych. Inaczej mówiąc, rozwiązaniem układu równań jest wspólna część zbiorów rozwiązań tych wszystkich równań.

Z uwagi na ilość rozwiązań, jakie posiadają układy równań, możemy podzielić je na:

• układ równań oznaczony - posiada tylko jedno rozwiązanie;
• układ równań nieoznaczony - ma nieskończenie wiele rozwiązań;
• układ równań sprzeczny - nie posiada rozwiązań.

Do rozwiązywania układów równań stosuje się następujące metody:

• metodę podstawiania;
• metodę wyznaczników;
• metodę przeciwnych współczynników;
• metodę graficzną.

Najpopularniejsze sposoby to metoda podstawiania i metoda przeciwnych współczynników, za ich pomocą rozwiązuje się większość przypadków. Najmniej dokładna jest metoda graficzna, gdyż nierówno narysowany wykres może powodować trudności w odczytaniu właściwego wyniku.

Metoda wyznaczników jest sposobem zaawansowanym, dla dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Sposób ten jest dość prosty, można też rozbudować go do trzech, czterech, a nawet tysiąca równań, zależnie od potrzeb.