Trójkąty i ich własności

Trójkąt to wielokąt o trzech bokach. Trójkąty można podzielić ze względu na boki oraz na kąty. Podział uwzględniający boki dzieli trójkąty na: trójkąt równoboczny, trójkąt równoramienny i trójkąt różnoboczny. Uwzględniając jako kryterium kąty, podział obejmuje następujące rodzaje trójkątów: trójkąt ostrokątny, trójkąt prostokątny i trójkąt rozwartokątny.

Trójkąt równoboczny to trójkąt, którego wszystkie boki są równej długości.

Najważniejsze własności trójkąta równobocznego:

• Wszystkie kąty są równe i mają miarę 60°;
• Każda wysokość tego trójkąta jest symetralną i dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne;
• Wysokości tego trójkąta, symetralne boków i dwusieczne kątów wewnętrznych pokrywają się ze sobą;
• Dwusieczne kątów wewnętrznych zawierają wysokości tego trójkąta (co wynika z poprzedniego punktu);
• Środkowa w trójkącie równobocznym jest jednocześnie wysokością. Środkowe i wysokości trzech boków przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy środkiem ciężkości trójkąta. Środek ciężkości dzieli każdą ze środkowych w stosunku 2:1;
• Wysokości (h) trójkąta równobocznego przecinają się w środku trójkąta tak, że odcinek od wierzchołka do punktu przecięcia się ma długość 2/3h, zaś odcinek od punktu przecięcia do boku trójkąta ma długość 1/3h;

• Punkt przecięcia się wszystkich wysokości jest także środkiem okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie;
• Promień okręgu wpisanego w trójkąt jest trzykrotnie mniejszy niż wysokość trójkąta.

r=1/3 h=(a√3)/6

Promień okręgu opisanego na trójkącie stanowi 2/3 wysokości trójkąta, co oznacza, że jest jednocześnie dwa razy większy niż promień okręgu wpisanego. R=2/3 h=(a√3)/3

Wysokość h trójkąta równobocznego dzieli go na dwa trójkąty prostokątne, których jedna przyprostokątna ma długość równą długości wysokości, druga przyprostokątna ma długość równą połowie długości boku trójkąta równobocznego, natomiast przeciwprostokątna ma długość równą długości boku trójkąta równobocznego a.

Wysokość w trójkącie równobocznym wyraża się wzorem:

d=(a√3)/2

Ciekawostka: trójkąt równoboczny jest jedynym trójkątem, który jest wielokątem foremnym.

Trójkąt równoramienny to trójkąt, który ma dwa boki jednakowej długości.

Najważniejsze własności trójkąta równoramiennego:

• Posiada dwa boki równej długości, które nazywamy ramionami. Trzeci bok tego trójkąta nazywany jest podstawą;
• Kąty przy podstawie mają taką samą miarę. Jeśli przy podstawie znajdują się kąty 45°, mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym;
• Wysokość padająca na podstawę trójkąta równoramiennego dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne;
• Wysokość padająca na podstawę dzieli tę podstawę na dwie równe części.

Charakterystyczny trójkąt równoramienny to trójkąt o kątach: 45°, 45° i 90°, który jest jednocześnie trójkątem prostokątnym.

Trójkąt różnoboczny to trójkąt, w którym każdy bok ma inną długość. Suma miar kątów w takim trójkącie jest równa 180° i to właściwie jedyna własność tego trójkąta. Cała reszta jego własności będzie uzależniona od poszczególnych kątów albo boków danego trójkąta.

Trójkąt ostrokątny to taki trójkąt, w którym każdy z kątów wewnętrznych ma miarę mniejszą niż 90°.

Najważniejsze własności trójkąta ostrokątnego:

• Posiada trzy kąty ostre;
• Suma miar wszystkich kątów wynosi 180°;
• Wszystkie wysokości trójkąta przecinają się wewnątrz trójkąta.

Najbardziej charakterystycznym trójkątem ostrokątnym jest trójkąt równoboczny posiadający wszystkie boki równe, a każdy kąt ma miarę 60°.

Trójkąt prostokątny to taki trójkąt w którym jeden z jego kątów ma miarę 90° - jest kątem prostym. Wszystkie boki trójkąta prostokątnego mają swoje specjalne nazwy. Boki tworzące kąt prosty to przyprostokątne, zaś bok leżący naprzeciwko kąta prostego nazywany jest przeciwprostokątną.

Najważniejsze własności trójkąta prostokątnego:

• W trójkącie prostokątnym najczęściej jego przyprostokątne są również jego wysokościami.

Najbardziej charakterystycznymi trójkątami prostokątnymi są takie, które mają kąty o mierze 45°, 45°, 90°oraz 30°, 60°, 90°.

Trójkąt rozwartokątny to taki trójkąt, którego jeden kąt wewnętrzny ma miarę powyżej 90°. Długość poszczególnych boków w tym trójkącie może być dowolna z jednym zastrzeżeniem - musi się dać zbudować z nich trójkąt.