Ciąg Fibonacciego - definicja, własności
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb naturalnych, w których każda występująca w nim liczba jest sumą dwóch poprzednich. Naukowcy odkryli, że odnajdujemy go w wielu aspektach przyrody, a jednocześnie można odkryć, że zjawiska, których struktura jest na nim oparta, sprawia przyjemność ludzkim zmysłom. O ciągu Fibonacciego uczymy się jeszcze w szkole podstawowej. Jakie są własności tego ciągu? Jak go obliczać? Czym są złote proporcje? Sprawdź!
1. Co to jest ciąg Fibonacciego?
Ciąg Fibonacciego został wynaleziony przez włoskiego matematyka, Leonarda Fibonacciego, który żył na przełomie XII i XIII. Podał on wzór na określanie kolejnych wyrazów tego ciągu.
Ciąg Fibonacciego jest to ciąg liczb naturalnych, określonych następująco: pierwszy wyraz to 0, drugi - 1, a każdy kolejny to suma dwóch poprzednich wyrazów.
Określamy go według poniższego wzoru:
F0 = 0
F1= 1
Fn = Fn-1+Fn-2, dla n ≥ 2
Pierwsze jego wyrazy wyglądają następująco:
0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...
2. Jakie są własności ciągu Fibonacciego?
Ciąg Fibonacciego ma następujące własności:
- każda następna liczba ciągu to suma dwóch poprzednich (oprócz pierwszej i drugiej) - jest to zatem ciąg rekurencyjny, jest to pierwszy ze znanych ciągów tego rodzaju;
- jeśli podzielimy każdą z liczb przez jej poprzednik, otrzymamy iloraz oscylujący wokół 1.618, w miarę zwiększania się liczb maleją odchylenia tej wartości; odwrotnością 1.618 jest 0.618, dlatego też współczynnik każdej liczby ciągu podzielony przez następną oscyluje wokół 0,618;
- inna własność polega na tym, że pomiędzy każdymi dwiema liczbami, które rozdzielone są jedną liczbą, ma miejsce proporcja 2.618 i jej odwrotność - 0.382;
- taką samą procedurę możemy zastosować dla liczb bardziej od siebie oddalonych, np. dla liczb oddalonych od siebie o trzy pozycje współczynniki wynoszą 4.236 oraz 0.236.
3. Czym są złote proporcje?
Liczba 1.618 inaczej nazywana jest współczynnikiem złotych proporcji i zapisywana jest za pomocą 21- szej litery alfabetu greckiego, jako phi (=∅). Uczeni odkryli, że ciąg Fibonacciego możemy znaleźć w szeregu aspektów przyrody, wyznacza on kształty struktury, jak i przebieg zmian w strukturach dynamicznych.
Warto zauważyć, że zjawiska, których struktura opiera się na ciągu Fibonacciego, sprawiają przyjemność dla słuchu i wzroku człowieka. Dowodem na tę tezę może być fakt, że złote proporcje wykorzystywano podczas budowy piramidy Cheopsa czy Panteonu w Grecji, posługiwał się nimi również w swojej sztuce Leonardo da Vinci i Botticelli.
